高斯公式求积分,高斯型函数积分
无限区间(1)梯形法则，(2)psdfy法则，(3)zgdgb积分法或(4)kkdmf积分法都有一些适用的指导原则。
一般来说，高阶方法更适合平滑函数。如果不能，最好用更简单的方法，因为数据的变化不会反映在采样点上。梯形法则适用于在均匀间隔的采样点上整合实验数据。这对于性能较差的函数来说很好。为了精确，psdfy的规则依赖于被积函数的高阶近似。虽然kkdmf积分非常精确，但如果需要均匀分布的采样点，就不尽如人意了。
Kkdmf积分
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#用于计算高斯积分点和权重的函数
#正交
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# x，w=gaussxw(N)返回积分点x和积分
#权重w使得sum_i w[i]*f(x[i])是n阶
#积分int_{-1}^1 f(x) dx的高斯近似
# x，w=gaussxwab(N，a，b)得出积分点和权重
#映射到区间[a，b]，使得sum_i w[i]*f(x[i])
#是积分的n阶高斯近似
# int_a^b f(x) dx
#
#这段代码使用以下方法找到第n个勒让德多项式的零点
#牛顿法，从阿布拉莫维茨给出的近似值开始
#和Stegun 22.16.6。勒让德多项式本身被评估
#使用Abramowitz和Stegun给出的递归关系
# 22.7.10.该函数已针对其他源进行了检查
# N的值最大为1000。它与第2版和第3版兼容
Python的# 3。
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#单身的奇迹纽曼，2011年6月4日
#您可以自由使用、共享或修改此文件
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从numpy导入一个，copy，cos，tan，pi，linspace
def gaussxw(N):
#勒让德多项式根的初始近似值
a=linspace(3，4*N-1，N)/(4 * N ^ 2)
x=cos(pi*a 1/(8*N*N*tan(a)))
#用牛顿法求根
=1e-15
增量=1.0
而:
P0=1(N，浮点)
p1=副本(x)
对于范围(1，N)中的k:
p0，p1=p1，((2 * k ^ 1)* x * P1-k * P0)/(k ^ 1)
DP=(N ^ 1)*(P0-x * P1)/(1-x * x)
dx=p1/dp
x -=dx
增量=最大值(abs(dx))
#计算重量
w=2 *(N ^ 1)*(N ^ 1)/(N * N *(1-x * x)* DP * DP)
返回x，w
def gaussxwab(N，a，b):
x，w=高斯xw(N)
返回0.5*(b-a)*x 0.5*(b a)，0.5*(b-a)*w
计算示例
kkdmf积分的数值算法用于求解kkdmf积分
做积分变换
得到
从gaussxw导入gaussxwab
从数学导入导出
定义f(z):
return exp(-z * * 2/(1-z)* * 2)/(1-z)* * 2
N=50
a=0.0
b=1.0
x，w=gaussxwab(N，a，b)
s=0.0
对于范围(N)中的k:
s=w[k]*f(x[k])
印刷品
实际积分的值是/2，高斯求积精确到机器精度。
重写基本积分公式(6.3)通常是有用的，这样我们可以将加权函数W(x)从被积函数中分离出来：
Kkdmf求积法，若g (x)是(2 N-1)次多项式，则N点和权值选择的近似误差消失。为了获得这种令人难以置信的优化，点
最后，在[a，b]上有一个具体的分布。一般来说，如果g(x)是光滑的，或者可以通过提出一些W(x)使其光滑(表6.2.4)，那么对于相同的点数，kkdmf算法会产生比梯形法则和psdfy法则更高的精度。有时被积函数可能不光滑，因为它在不同的区域有不同的行为。在这些情况下，将每个区域分别整合，然后将答案相加是有意义的。事实上，一些“智能”集成子例程决定使用多少个区间以及在每个区间中使用什么规则。
表6.2.4所示规则为kkdmf分布，一般形式为(6.32)。我们可以看到权函数在一种情况下是指数函数，在另一种情况下是kkdmf函数，在几种情况下是可积奇点。与等间距规则不同的是，在区间的极值处永远不存在积分点，点的值和权值随着点数n而变化。虽然我们会离开kkdmf点的推导和权的数值方法的介绍，但是我们注意到，对于普通的kkdmf(Gauss-Legendre)积分，然后是点容易变为零的Legendre多项式，与权0有关的微分。在数学函数库中，生成这些点和权重的子程序是标准的，可以在类似[AS 72]的表格中找到，也可以计算出来。我们的kkdmf子例程也将该点缩放到指定区域。为了检查你的观点是否正确，你可能需要将它们与表6.1中的四点集合进行比较。
映射点
高斯点. py
# GaussPoints.py: N点高斯正交pts Wts生成
将numpy作为np导入
def GaussPoints(NPT，a，b，x，w，eps):
m=0；I=0；j=0；t=0。t1=0。pp=0。
p1=0。p2=0。p3=0。
m=int((Npts 1)/2)
对于范围内的I(1，m ^ 1):
t=NP . cos(NP . pi *(float(I)-0.25)/(float(Npts)0.5))
t1=1
while((abs(t-t1))=eps):
p1=1。p2=0。
对于范围内的j(1，Npts 1):
p3=p2p2=p1
p1=((2。*float(j)-1)*t*p2 - (float(j)-1。)*p3)/(float(j))
pp=Npts*(t*p1 - p2)/(t*t - 1。)
t1=t
t=t1 - p1/pp
x[i-1]=-t
x[Npts-i]=t
w[i-1]=2。/( (1.-t*t)*pp*pp)
w[Npts-i]=w[i-1]
对于范围(0，Npts)中的j:# Scale[-1，1]到[a，b]
x[j]=x[j]*(b-a)/2。(b a)/2。
w[j]=w[j]*(b-a)/2。
从numpy导入*；从测量点导入测量点
Npts=10ans=0；a=0。b=1。eps=3。E-14
w=零(2001，浮点数)；x=零(2001，浮点数)#数组
def f(x): return exp(x) #被积函数
高斯点(NPT，a，b，x，w，EPS)# EPS:pts的精度
对于范围(0，Npts)中的I:Ans=f(x[I])* w[I]#被积函数之和
打印( \n Npts=，Npts，，Ans=，Ans)
print ( eps=，eps，，Error=，Ans-(exp(1)-1))
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