Python处理矩阵,python求矩阵特征值

　　特征值分解

　　特征值分解是将一个方阵A分解成如下形式：

　　其中q是由方阵A的特征向量组成的矩阵，

　　是对角矩阵，对角元素是特征值。

　　通过特征值分解获得的前n个特征向量代表矩阵A的最重要的n个变化方向.利用这前n个变化方向，我们可以近似这个矩阵(变换)。

　　奇异值分解

　　奇异值分解(SVD)是一种广泛应用于机器学习领域的算法。它不仅可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统、自然语言处理等领域。它可以应用于任何矩阵分解。

　　SVD是将m*n的矩阵A分解成以下形式：

　　其中U和V是正交矩阵，即

　　，u是左奇异矩阵，

　　，s是

　　对角矩阵(对角元素为奇异值，非对角元素均为0)，

　　右奇异向量。

　　特征值用来描述一个方阵，可以看作是一个空间到自身的映射。奇异值可以描述长方阵或奇异矩阵，可以看作是从一个空间到另一个空间的映射。

　　奇异值与特征值有关，奇异值是矩阵。

　　的特征值的平方根。

　　步骤

　　输入：样本数据

　　输出：左奇异矩阵，奇异值矩阵，右奇异矩阵计算特征值：特征值分解

　　，其中

　　是原始样本数据。

　　得到左奇异矩阵。

　　和奇异值矩阵。

　　间接寻找部分右奇异矩阵：寻找

　　使用

　　可用性

　　，分别是左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。

　　Python实现

　　调用eig和svd方法

　　将numpy作为np导入

　　Data=np.array ([[1，0，4]，[2，2，0]，[0，0，5]]) # array

　　#调用np.linalg.eig()分解数据A * data 的特征值

　　eig_value，EIG _ vector=NP . linalg . EIG(data . dot(data。t))

　　#按降序排列特征值

　　EIG _ value=NP . sort(EIG _ value)[:-1]

　　Print(特征值：，eig_value) #特征值

　　Print(特征值平方根：，np.sqrt(eig_value)) #特征值平方根

　　#调用np.linalg.svd()对数据进行奇异值分解

　　u，S，V=np.linalg.svd(数据)

　　#下降到二维，计算U*S*V的结果应该和数据差不多

　　recon_data=np.round(U[:2])。dot(np.diag(S[:2]))。dot(V[:2，)，0)。astype(int)

　　Print(奇异值：，S) #奇异值

　　打印(数据：\n ，数据)

　　打印(结果为“u * s * v: \n”，recon_data)

　　结果证明奇异值是矩阵。

　　的特征值的平方根。结果如下：本征值：[10000]10601 . 686686866616

　　特征值的平方根：[6]200000000065

　　奇异值：[6]。58660 . 68666866666

　　数据：[[1 0 4] [2 2 0] [0 0 5]]

　　U*S*V的结果：[[1 0 4] [2 2 0] [0 0 5]]

　　根据奇异值分解原理。

　　将numpy作为np导入

　　# 1.调用np.linalg.eig()计算特征值和特征向量

　　eig_val，u _ vec=NP . linalg . EIG(data . dot(data。t))

　　S_val=np.sqrt(eig_val) #奇异值：是特征值的平方根。

　　#把向量u_vec按顺序排好。

　　s _ val _ sort _ idx=NP . arg sort(s _ val)[:-1]

　　u_vec=u_vec[:s_val_sort_idx]

　　#奇异值降序排列

　　s_val=np.sort(s_val)[:-1]

　　# 2.计算奇异值矩阵的逆矩阵

　　s _ val _ inv=NP . linalg . inv(NP . diag(s _ val))

　　# 3.计算右奇异矩阵

　　v_vec=s_val_inv.dot((u_vec。t)。点(数据))

　　#下降到二维，计算U*S*V的结果应该和数据差不多

　　recon_data=np.round(u_vec[:2]。dot(np.diag(s_val[:2]))。dot(v_vec[:2，])，0)。astype(int)

　　Print(左奇异矩阵U:\n ，u_vec)

　　打印(奇异值适马：\n ，s_val)

　　Print(右奇异矩阵V:\n ，v_vec)

　　打印(数据：\n ，数据)

　　打印(结果为“u * s * v: \n”，recon_data)

　　运行结果

　　左奇异矩阵u:

　　[[ 0.63464303 -0.12919086 0.76193041]

　　[ 0.03795231 -0.97952798 -0.19769816]

　　[ 0.77187295 0.15438478 -0.61674751]]

　　奇异值适马：

　　[6.43771974 2.87467944 0.54035417]

　　右奇异矩阵v:

　　[[ 0.11037257 0.01179061 0.99382034]

　　[-0.72642772 -0.68148675 0.08876135]

　　[ 0.67832195 -0.73173546 -0.06665242]]

　　数据：

　　[[1 0 4]

　　[2 2 0]

　　[0 0 5]]

　　U*S*V的结果：

　　[[1 0 4]

　　[2 2 0]

　　[0 0 5]]

　　基于奇异值分解的图像压缩

　　基于奇异值分解的图像压缩：图像实际上是一个数字矩阵。通过奇异值分解降低矩阵的维数，只使用重要特征来表示图像，从而达到压缩的目的。

　　path=Andrew Ng.jpg

　　data=io.imread(path，as_grey=True)

　　打印(数据.形状)

　　Data=np.mat(data) # mat处理后才能用矩阵乘法降维。

　　u，sigma，VT=np.linalg.svd(数据)

　　Count=30 #选择前30个奇异值

　　#重建矩阵

　　Dig=np.diag(sigma[:count]) #获取对角矩阵

　　# dim=数据。T * U[:count] * dig。I #用于降维的额外变量。挖吧。I:这里不用dig的逆矩阵。

　　Re=u [:count] * dig * vt [:count，] #重建的数据

　　Plt.imshow(data，cmap=gray) #取灰

　　Plt.title(原始图片)

　　plt.show()

　　Plt.imshow (Redata，cmap= gray) #取灰

　　Plt.title(基于SVD压缩重建的图片)

　　plt.show()

　　原图为720x1080，存储的像素值为720x1080=777600。使用SVD算法，前30个奇异值变成(720 1 1080)*30=54030，实现了差不多15倍的压缩比，大大降低了存储容量。

　　结果如下

　　附录

　　矩阵

　　方阵：它是一种特殊的矩阵。是方阵n * n的矩阵。

　　特征值和特征向量

　　设A为n阶方阵，若有n维非零向量

　　，制作

　　那么它就叫做常数

　　是a的特征值，

　　一个对应于。

　　的特征向量。

　　np.diag()

　　Np.diag(数组)参数描述：

　　当array是一维数组时，结果是一个以一维数组为对角元素的矩阵；

　　当array是二维矩阵时，结果输出矩阵的对角元素。

　　将numpy作为np导入

　　#当输入是一维数组时，结果形成一个以一维数组为对角元素的矩阵。

　　data_1=np.array([1，2，3])

　　Print(输入为一维数组时的结果：\n ，np.diag(data_1))

　　#当输入是二维矩阵时，结果输出矩阵的对角元素

　　data_2=np.array([[1，0，4]，[2，2，0]，[0，0，5]])

　　Print(输入为二维数组时的结果：\n ，np.diag(data_2))

　　当输入是一维数组时运行结果：[[1 0 0] [0 2 0] [0 0 3]]

　　输入二维数组时的结果：[1 2 5]

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